Hoe wiskunde onze Kamerzetels verdeelt

De Tweede-Kamerverkiezingen zijn al een poosje achter de rug en de formatie is inmiddels in volle gang. Toch blik ik nog even terug op 29 oktober 2025: in deze column leg ik uit wat wiskunde te maken heeft met de politieke verkiezingen.

Bij de verdeling van zetels staat het begrip proportionaliteit centraal. Dat betekent: een partij krijgt een aantal zetels proportioneel aan het aantal stemmen dat de partij heeft ontvangen. Een partij met tweederde van de stemmen, krijgt dus (ongeveer) tweederde van de zetels (en niet alle zetels). De meeste mensen zijn het er over eens dat dit een eerlijke manier is om vanuit de stemmen de zetelverdeling in de Kamer te bepalen.

Dit proportionaliteitsprincipe is helaas niet zo simpel als het misschien klinkt. Zetels kunnen we namelijk niet in stukjes opdelen, en het is bijna altijd het geval dat een partij een proportie stemmen ontvangt, dat niet in een geheel aantal zetels uit te drukken is. Wat moeten we dan met de rest van de stemmen doen?

In 1792 stelde de Amerikaanse politicus Alexander Hamilton een simpele methode voor om zetels te verdelen: de Largest Remainder Method (LRM). Die methode bedeelt alle partijen eerst hun lower quotum toe. Dat wil zeggen: elke partij krijgt zijn exacte proportionele waarde in zetels, naar beneden afgerond. Er blijven dan zetels over, en de rest van de zetels wordt volgens deze methode toebedeeld aan de partijen met het grootste aantal reststemmen. Dit heeft als resultaat dat geen enkele partij meer zetels krijgt dan hun upper quotum: de proportionele waarde in zetels, naar boven afgerond. We zeggen dat de Largest Remainder Method voldoet aan het lower quota axioma en aan het upper quota axioma. Voordat je over de begrippen struikelt, een voorbeeld:

Stel er zijn vier partijen: Partij voor de Aalscholvers (A), Partij voor de Buizerds (B), Partij voor de Citroenzangers (C) en Partij voor de Duiven (D). Er zijn in totaal tien zetels te verdelen, en duizend uitgebrachte stemmen. Het aantal verkregen stemmen per partij is:

A : 570
B : 195
C : 150
D : 85

Partij A heeft een 570/1000 = 0,57 fractie van de stemmen. Proportionaliteit geeft partij A dus 5,7 zetels. Naar beneden afgerond geeft dat vijf zetels, het lower quotum van partij A. Met diezelfde redenering krijgt partij B 195/1000 = 1,95 oftewel één
zetel, net als partij C. Partij D krijgt nul zetels, want 0,85 naar beneden afgerond is nul.

De reststemmen zijn nu: 70 voor partij A , 95 voor partij B, 50 voor partij C en 85 voor partij D. Er zijn nog drie zetels te verdelen. Omdat 95 > 85 > 70 > 50, gaat er één restzetel naar partij B, één naar partij D, één naar partij A en geen naar partij C.

De methode is intuïtief, maar er bleken fundamentele problemen mee. In de loop der jaren (eind 19e en begin 20e eeuw) deden zich met deze methode van zetelverdelingen in de Verenigde Staten een paar incidenten voor die nu de ‘Alabama paradox’ en de ‘population paradox’ worden genoemd. Bij de Alabama paradox zorgde een toename van het totaal aantal zetels voor een afname van het aantal zetels voor een specifieke partij (zonder wijzigingen van stemmen). Bij de population paradox zorgde een toename in stemmen voor een partij voor een afname in zetels voor diezelfde partij.

Dergelijke fenomenen betekenden het begin van de wiskundige theorie van apportionment. Die focuste zich vanaf dat moment niet enkel op proportionaliteit maar ook op monotoniciteit: hoe meer stemmen voor een partij, hoe meer zetels voor die partij, én, hoe meer zetels in totaal, hoe meer zetels per partij. Een zetelverdelingsmethode voldoet aan population monotonicity als die resistent is tegen de population paradox. Een toename van het aantal stemmen voor een partij, leidt dan nooit tot een afname in het aantal zetels. Een methode voldoet aan house monotonicity (naar het aantal zetels van het huis) als die resistent is tegen de Alabama paradox: een toename van het aantal zetels in het huis, leidt nooit tot een afname in het aantal zetels voor een partij.

Wel, wat nu? Hoe tackel je dan wel al deze problemen op een eerlijke manier? Daarvoor gebruiken we in Nederland de D’Hondt-methode. Deze D’Hondt-methode is vernoemd naar de Belgische professor in de rechten, Victor D’Hondt (1841-1901). De methode wordt ook wel de Jefferson-methode genoemd: Thomas Jefferson was de derde president van de Verenigde Staten en hij heeft deze methode onafhankelijk van Victor D’Hondt voorgesteld voor het verdelen van zetels tussen staten in de VS aan de hand van het aantal inwoners.

De D’Hondt-methode verloopt in ronden: in elke ronde wordt er één zetel uitgedeeld, namelijk aan de partij met het grootste aantal stemmen per zetel, mocht die partij de zetel ontvangen. Schrijf 𝑠(𝐴) voor het aantal stemmen voor partij 𝐴, 𝑧(𝐴) voor het aantal reeds verkregen zetels voor partij 𝐴. Dan bereken je de quotient 𝑄(𝐴) van partij 𝐴 uit als volgt: 𝑄(𝐴)=𝑠(𝐴)/(𝑧(𝐴)+1). De partij met het grootste quotient, wint de zetel. Dit herhalen we tot alle zetels verdeeld zijn. Hetzelfde voorbeeld als voorheen geeft nu een andere zetelverdeling:

Herinner, er zijn in totaal tien zetels te verdelen, en duizend uitgebrachte stemmen. Het aantal verkregen stemmen per partij is:

A : 570
B : 195
C : 150
D : 85

We weten dat de D’Hondt-methode voldoet aan het lower quota axioma, dus hoeven we de eerste ronden niet uit te rekenen. We kunnen simpelweg elke partij diens lower quotum toebedelen, als voorheen: Partij A krijgt vijf zetels, Partij B krijgt één zetel, Partij C krijgt één zetel, Partij D krijgt nul zetels.

Dan zijn er drie restzetels over. De Nederlandse kieswet kent een extra regel: elke partij moet zelf minstens één volle zetel binnenhalen aan stemmen. Dat betekent dat partij D verwijderd wordt uit het systeem: die eindigt dus met nul zetels. Er zijn nu drie restzetels om te verdelen tussen partij A , partij B en partij C. We rekenen de quotiënten uit:

Quotient partij 𝐴: 𝑄(𝐴)=𝑠(𝐴)/(𝑧(𝐴)+1)=570/6=95

Quotient partij B: 𝑄(𝐵)=𝑠(𝐵)/(𝑧(𝐵)+1)=195/2=97,5

Quotient partij C: 𝑄(𝐶)=𝑠(𝐶)/(𝑧(𝐶)+1)=150/2=75

Partij B krijgt dus de eerste restzetel. Omdat 𝑧(𝐵) veranderd is, moeten we 𝑄(𝐵) opnieuw uitrekenen:

𝑄(𝐴)=95

𝑄(𝐵)=195/3=65

𝑄(𝐶)=75

Dus nu krijgt partij A de volgende restzetel. We rekenen 𝑄(𝐴) opnieuw uit:

𝑄(𝐴)=570/7=81,4

𝑄(𝐵)=65

𝑄(𝐶)=75

Partij A krijgt dus ook de laatste zetel. De eindstand wordt daarmee:

Partij voor de Aalscholvers: zeven zetels

Partij voor de Buizerds: twee zetels

Partij voor de Citroenzangers: één zetel

Partij voor de Duiven: nul zetels

De methode selecteert hiermee overigens een parlement met maximale steun voor de minst favoriete verkozen kandidaat, ook geen slechte eigenschap!